Bekal Ice Breaking : Matematika materi Perbandingan senilai

Setelah profesor matematika selesai menjelaskan materi perbandingan senilai, seorang siswa, Salindri bertanya kepada professor matematika.

Salindri, “Prof, dalam pokok bahasan ini, saya mempunyai soal. Seekor katak dalam 2 kali lompatan sanggup menempuh jarak 5 meter. Jika katak tersebut hendak menyeberangi sungai yang lebarnya 45 meter, berapa lompatan yang harus dilakukan katak tersebut?”

Profesor matematika, “Itu mudah. Kamu gunakan saja formula yang telah kamu ketahui, yaitu, banyak lompatan = (45/5) x 2 = 18 kali. Mudah bukan?”

Salindri, “Menurut saya jawaban itu belum benar. Mungkin Prof lupa dengan penjelasan yang Prof sampaikan sendiri kepada kami tempo lalu bahwa matematika mengajarkan kita berpandangan realistis.”

Profesor matematika, “Kalau begitu, bagaimana jawaban soal tersebut?”

Salindri, “Jawabannya, katak tersebut cukup melakukan 2 kali lompatan saja. Lompatan pertama ketika ia akan melompat dari daratan ke sungai dan lompatan kedua saat ia melompat dari sungai menuju daratan. Sedangkan di sungai yang lebarnya 45 meter, katak tersebut tidak perlu melompat, bukankah ia pandai berenang?”

Profesor matematika, “Oh ya, kamu benar Salindri. Memang Kamu adalah murud saya yang pandai. Pandai akal-akalan, he .., he .., he …”

» Read More...

Teori Fermat Hampir Hilang

Banyak yang mengira bahwa Fermat adalah seorang ahli teori bilangan, bahkan mungkin ahli teori bilangan yang paling terkenal yang pernah hidup. Karena itu alangkah mengejutkannya bahwa pada kenyataannya Fermat adalah seorang pengacara dan hanya seorang matematikawan amatir. Hal lain yang juga mengejutkan adalah fakta bahwa ia hanya pernah menerbitkan sekali dalam hidupnya karya dalam matematika, dan itupun ditulis tanpa nama yang disertakan dalam apendik suatu buku teks. Karena Fermat menolak untuk menerbitkan karyanya, teman-temannya takut bahwa ia akan segera dilupakan kecuali dilakukan sesuatu. Putranya, Samuel mengambil alih pengumpulan surat Fermat dan tulisan matematika lainnya, komentar yang ditulis di buku, dan sebagainya dengan tujuan untuk menerbitkan gagasan matematika yang dimiliki ayahnya. Dengan cara inilah ”Teorema Terakhir” yang terkenal diterbitkan. Hal tersebut ditemukan oleh Samuel dalam catatan kecil ayahnya dalam salinan buku Arithmetica karya Diophantus. Teorema terakhir Fermat menyatakan bahwa x^n + y^n = z^n tidak mempunyai solusi bilangan bulat taknol untuk x, y dan z jika n> 2. Fermat menuliskan bahwa “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”. Fermat juga hampir selalu menulis catatan kecil sejak tahun 1603, manakala ia pertama kali mempelajari Arithmetica karya Diophantus. Ada kemungkinan Fermat menyadari bahwa apa yang ia sebut sebagai remarkable proof ternyata salah, karena semua teorema yang dia nyatakan biasanya dalam bentuk tantangan yang Fermat ajukan terhadap matematikawan lain. Meskipun kasus khusus untuk n = 3 dan n = 4 ia ajukan sebagai tantangan (dan Fermat mengetahui bukti untuk kasus ini) namun teorema umumnya tidak pernah ia sebut lagi. Pada kenyataannya karya matematika yang ditinggalkan oleh Fermat hanya satu buah pembuktian. Fermat membuktikan bahwa luas daerah segitiga siku- siku dengan sisi bilangan bulat tidak pernah merupakan bilangan kuadrat. Jelas hal ini mengatakan bahwa tidak ada segitiga siku-siku dengan sisi rasional yang mempunyai luas yang sama dengan suatu bujursangkar dengan sisi rasional. Dalam simbol, tidak terdapt bilangan bulat x, y, z dengan sehingga bilangan kuadrat. Dari sini mudah untuk mendeduksi kasus n = 4, Teorema Fermat. Penting untuk diamati bahwa dalam tahap ini yang tersisa dari pembuktian Fermat Last Theorem adalah membuktikan untuk kasus n bilangan prima ganjil. Jika terdapat bilangan bulat x, y, z dengan maka jika n = pq Euler pada tanggal 4 Agustus 1753 menyurati Goldbach mengklaim bahwa ia mempunyai bukti Teorema Fermat untuk kasus n = 3. Akan tetapi bukti yang ditulis dalam Algebra (1770) ini mengandung kekeliruan dan tampaknya jauh dari mudah untuk memberikan bukti alternatif terhadap suatu pernyataan yang mengandung kekeliruan bukti. Kesalahan yang dibuat Euler cukup menarik. Euler memerlukan mencari bilangan pangkat tiga yang berbentuk p^2 + 3q^2 dan Euler menunjukkan bahwa untuk setiap a, b jika kita tuliskan p = a^3 − 9ab^2, q = 3 (a^2b − b^3) maka p^2 + 3q^2 = (a^2 3b^2)^3 . Ini benar, tetapi kemudian ia mencoba menunjukkan bahwa jika p^2 + 3q^2 merupakan bilangan bulat pangkat tiga maka ada a dan b yang membuat p dan q bersifat seperti di atas. Metode ini melibatkan perhitungan dengan bilangan berbentuk a + yang tidak bersifat sebagaimana bilangan bulat, dan hal inilah yang kurang mendapat perhatian dari Euler. Langkah kemudian diambil oleh Sophie Germain. Suatu kasus khusus mengatakan bahwa jika n dan 2n + 1 bilangan prima maka xn + yn = zn mengakibatkan salah saatu dari x, y, z habis dibagi n. Dengan demikian Fermat Last Theorem terbagi kedalam dua kasus. Kasus 1: Tidak ada satupun dari x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2: Satu dan hanya satu di antara x, y, z yang habis dibagi n. Kasus 2(i) dibuktikan oleh Dirichlet dan dipresentasikan kepada Paris Academy pada bulan Juli 1825. Legendre berhasil membuktikan kasus 2(ii) dan bukti lengkap untuk n = 5 yang diterbitkan pada bulan September 1825. Sebenarnya Dirichlet juga bisa memberikan bukti sendiri untuk kasus n = 5 dengan menggunakan argumen untuk kasus 2(ii) yang merupakan perluasan dari kasus 2(i). Pada tahun 1832, Dirichlet menebitkan bukti Fermat Last Theorem untuk kasus n = 14. Tentu ia mencoba untuk membuktikan kasus n = 7, tapi ia hanya mendapatkan hasil yang lebih lemah. Kasus untuk n = 7 akhirnya dipecahkan oleh Lam´e pada tahun 1839. Lame memperkenalkan suatu metode yang benar-benar baru. Bukti yang diberikan Lame sangat sulit dan membuat orang mengira bahwa kemajuan pembuktian Fermat Last Theorem untuk n yang lebih besar mendekati mustahil tanpa perubahan pendekatan yang radikal. Tahun 1847 banyak kemajuan yang dicapai dalam studi Fermat Last Theorem (FLT). Pada tanggal 1 Maret tahun tersebut Lame mengumumkan pada Paris Academy bahwa ia telah membuktikan FLT. Dia mensketsakan buktinya yang melibatkan pemfaktoran x^n + y^n = z^n ke dalam faktor linier atas bilangan kompleks. Lame mendapatkan ide ini dari Liouville. Namun Liouville kemudian menemui Lame dan mengatakan bahwa masalah dalam pendekatan ini adalah ketunggalan pemfaktoran dalam bilangan prima diperlukan untuk bilangan kompleks, dan ia meragukan bahwa hal tersebut benar. Dalam minggu-minggu tersebut usaha keras dilakukan untuk mebuktikan ketunggalan faktorisasi. Wantzel mengklaim bahwa ia telah mambuktikannya pada tanggal 15 Maret dengan argumen: hal tersebut benar untuk n = 2, n = 3 dan n = 4 dan dengan menggunakan argumen yang sama hal tersebut jelas untuk n > 4. [Wantzel benar untuk n = 2, n = 3 (argumen Euler menjadi salah), dan n = 4 (yang dibuktikan oleh Gauss).

» Read More...

Bilangan febonacci dalam matematika

Dalam soal-soal test intelegensi sering kali kita diminta melengkapi suatu baris, ada kalanya hanya dengan melihat saja kita bisa mendapatkan polanya namun ada kalanya kita kesulitan seperti pada deret yang satu ini

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

inilah deret febonacci

secara formal
seperti ini
Dalam matematika, bilangan Fibonacci adalah barisan yang didefinisikan secara rekursif sebagai berikut:

F(n)= \begin{cases} 0, & \mbox{jika }n=0; \ 1, & \mbox{jika }n=1; \ F(n-1)+F(n-2) & \mbox{jika tidak.} \end{cases}

Penjelasan: barisan ini berawal dari 0 dan 1, kemudian angka berikutnya didapat dengan cara menambahkan kedua bilangan yang berurutan sebelumnya. Dengan aturan ini, maka barisan bilangan Fibonaccci yang pertama adalah:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946...

Barisan bilangan Fibonacci dapat dinyatakan sebagai berikut:

Fn = (x1n – x2n)/ sqrt(5)

dengan

* Fn adalah bilangan Fibonacci ke-n
* x1 dan x2 adalah penyelesaian persamaan x2-x-1=0

Perbandingan antara Fn+1 dengan Fn hampir selalu sama untuk sebarang nilai n dan mulai nilai n tertentu, perbandingan ini nilainya tetap. Perbandingan itu disebut Golden Ratio yang nilainya mendekati 1,618.(http://10110030.blog.unikom.ac.id)

» Read More...

[GRAF] Seekor Kelinci, Anjing, Harimau, dan Nelayan yang Hendak Menyeberang

Ini adalah soal Graf pada matakuliah Teori Graf, tugas 01

Seekor kelinci, seekor anjing dan seekor harimau berada di satu tepi sungai dan seorang nelayan dengan perahu yang kecil hendak memindahkan ketiga binatang itu ke sisi sungai yang lain. Karena kecilnya perahu si nelayan, perahu tersebut hanya mampu mengangkut nelayan dan paling banyak 1 ekor binatang yang ada. Jika kelinci dan harimau saja yang ditinggal bersama di satu tepi sungai maka kelinci akan dimakan harimau, begitu pula sebalinya jika anjing dan kelici saja yang ditinggal di sisi sungai maka kelinci akan dimakan oleh anjing. Bagaimana strategi yang dipakai oleh nelayan agar semua binatang yang ditinggal selamat dan banyak nelayan menyeberang sedikit mungkin??



Caranya
pertama Nelayan menyeberang dengan membawa kelinci menuju keseberang sungai yang lain (sisi 2)
Kedua Nelayang menyeberang kembali ke seberang sungai (sisi 1) tanpa membawa binatang
Ketiga Dari (sisi 1) nelayan membawa harimau dan menyeberang ke (sisi 2) lain
Keempat Dari (sisi 2) nelayan membawa kembali kelinci menyeberang ke (sisi 1)
Kelima Nelayan menyeberang ke sisi 2 membawa anjing dan meninggalkan kelinci
Keenam Nelayan kembali ke seberang sungai (sisi 1) tanpa membawa binatang
Ketujuh Nelayang menyeberang kesisi 2 membawa kelinci
Akhirnya ketiga binatang dan Si nelayan berhasil keseberang sungai.
BERHASIL....

» Read More...

Recent Post

Categories